Какая шахматная фигура самая необычная? Конечно, конь! Остальные шахматные фигуры: и король, и ферзь, и ладья, и слон, и пешка – все ходят прямолинейно. И только конь ходит буквой «Г». И знают об этом очень многие люди, не только шахматисты.
Конь обладает интереснейшими свойствами. И поэтому именно конь является героем большинства математических задач на шахматной доске.

Самой известной на этот счёт является, пожалуй, такая задача:
Задача 1. Может ли конь с поля a1 шахматной доски пройти до h8 (поля a1 и h8 – угловые поля доски, лежащие на одной диагонали), побывав на каждом поле доски ровно один раз?
Решение. При решении этой задачи используется наиболее важное свойство коня: конь каждым своим ходом меняет цвет поля, на котором он стоит. Теперь легко понять решения задачи. Пусть коню удалось совершить этот маршрут. Тогда он сделал 63 хода и цвет поля поменял. Но поля a1 и h8 – одного цвета. Противоречие.

Попробую показать, как это свойство коня может быть использовано в шахматной задаче. Думаю, это сможет понять и человек, не особо разбирающийся в шахматах.
Задача 2. (В. Чеховер) Белые начинают и выигрывают:

Решение. Не хотелось связывать статью с шахматными задачами, но всё же для этой задачи везде найдётся место. Уж очень она мне нравится. Как вы скоро поймёте, с реальными шахматами она мало связана. Её можно рассматривать, как математическую задачу.
Как можно проверить, на доске лишь две подвижные фигуры – конь чёрных, стоящий на поле h8, и король белых. Действительно, ход ферзём за белых ведёт к потери ладьи h2 или возможности чёрных отойти слоном с поля f1, с угрозой провести пешку f2 в ферзи, а ходы слоном или конём h1 за чёрных ведут к их немедленной капитуляции.
Теперь понятен план игры белых. Надо королём пройти к полю g7 и помочь пешке h7 превратиться в ферзи. Чёрный конь h8 же не может отойти далеко от поля h8, иначе белая пешка пройдёт в ферзи беспрепятственно. Поэтому конь чёрных делает лишь ходы Кh8–f7–h8 или Кh8–g6–h8. Король белых не может вставать под угрозу шаха чёрным слоном f1, иначе чёрные следующим ходом проведут пешку f2 в ферзи. Например, на ход Кра2 последует шах Сc4 и следующим ходом f1Ф. Поэтому, казалось бы, белый король может ходить только по чёрным полям. Но попытки прорваться к полю g7 по чёрным полям не приводят к успеху. Чёрный конь успешно блокирует короля белых, например: 1. Крb2 Кf7 2. Крс3 Кh8 3. Крd4 Кf7 4. Крc5 Кh8 5. Крd6 Кg6 или 1. Крb2 Кf7 2. Крс3 Кh8 3. Крd4 Кf7 4. КреЗ Кh8 5. Крf4 (можно попытаться 5. Фh4 Сd3 6. Л:h1 в надежде на 6... ghФ 7. Ф:f2#, но за чёрных находится 6... ghК) 5.... Кf7. Надо попробовать передать темп, пройти королём через белое поле, т.е. найти такое белое поле доски, что чёрному слону, сделав ход, не удастся напасть на это поле. Оказывается, такое поле есть – это поле a8.
Теперь, поняв математическую суть этого этюда, шахматная часть восстанавливается лёгким движением руки (для краткости некоторые ходы чёрного коня “туда-сюда” опущены): 1–6. Крb2–сЗ–d4–c5–b6–a7 Кh8 7. Крa8 Кg6 8. Крb8 Кh8 9. Крc7 Кf7 10–13. Крb6–c5–d4–e5 Кg6 14. Крf6 Кh8 15. Крg7 Кg6 16. h8Ф К:h8 17. Кр:h8 Кg3 18. Ф:g3 Сd3 19. Ф:g2#.
Грандиозный поход белого короля!


Теперь обратимся к следующей широко известной задаче, являющейся классической в области занимательной математике: обойти конем все поля шахматной доски, посетив каждое из них ровно один раз.
Существует такое правило, правило Варнсдорфа, следуя которому, как считалось раньше, всегда можно построить нужный маршрут коня. Вот в чём оно заключается:

С появлением ЭВМ стало понятно, что правило Варнсдорфа не всегда приводит к нужному результату, однако оно достаточно эффективно. Очень с большой вероятностью удастся обойти доску. В качестве упражнения могу предложить читателю попробовать, действуя по этому правилу, зайти в тупик. Это не так то просто. С другой стороны не так то просто и обойти доску, не зная этого правила.

Напоследок могу предложить ещё две задачи, тесно связанные с задачей обхода конём шахматной доски:
Конь обошёл шахматную доску, побывав на каждом поле ровно один раз. При этом на полях он оставлял следы. На начальном поле он оставил число 1, на следующем – число 2, …, на последнем – число 64. Задача 3. Могли ли получиться все числа, стоящие в полях, симметричных относительно центра доски, отличающимися на 32? Задача 4. Мог ли получиться магический квадрат (суммы чисел во всех горизонталях и вертикалях равны)?
Задачи можете решать прямо на экране (задача 3 – “конёвый симметричный квадрат”, задача 4 – “конёвый магический квадрат”):