Простая задача
Ну очень простая (=
На шахматной доске отмечены центры всех клеток. Можно ли их отделить друг от друга, проведя 13 прямых?

Задача предэкзаменационная и задача экзаменационная.
Сегодня сдал последний экзамен. Ур-р-ра!
На следующую задачу наткнулся при подготовке к экзамену. Задача предэкзаменационная:
На плоскости дано бесконечно число точек. Расстояние между любыми двумя данными точками - целое число. Доказать, что все точки лежат на одной прямой.
Задача несложная, особенно, если помнить, что использовал я её для подготовки к ангему...
Ну, а чтобы вы не подумали, что в мехматянском ангеме всё устроено просто, вот вам задача экзаменационная (её мне надо было решить для допуска к экзамену):
Два треугольника описаны около одной кривой второго порядка (для простоты можете считать, что вокруг одной окружности). Доказать, что их вершины лежат на кривой второго порядка (эллипс, парабола или гипербола).
Для её решения некоторые специальные знания необходимы.
А я ведь полюбил ангем... (=

Задача торическая
Хех... Давненько я сюда не заглядывал)) Собственно, я взрослею, задачи, вероятно, сложнеют, но интерес задач должен держаться на уровне. Сегодня будет задача, которую одному моему одногрупнику задали решить для допуска к досрочному экзамену.
Дан тор (в смысле, бублик...) Найти плоскость такую, что в сечении тора этой плоскостью образуются пересекающиеся окружности.
Вернее задачу моему одногрупнику дали чуть-чуть другую: ему эту самую плоскость указали, и требуется лишь доказать, что в сечении, действительно, будут окружности.
Доказательство этого факта, как я уже догадываюсь, совсем не простое. Поэтому я задачу сформулировал по-другому и предлагаю всем, кто не хочет связываться с длительными вычислениями, просто догадаться, что это за плоскость такая.
В качестве подсказки, если хотите, используйте вот этот рисунок. Хотя для начала рекомендую потренировать своё воображение и подумать без всяких подсказок... (=

Задача от Канеля 2
Продолжаю серию задач "от Канеля"
Можно ли расположить бесконечное число равных выпуклых многогранников в слое, ограниченном двумя плоскостями, так, чтобы ни один многогранник нельзя было вынуть из слоя, не сдвигая остальных?

Задача от Канеля 1
Немотря на то, что лекция Канель-Белова на "Современной математике" мне не очень понравилась, надо признать, что олимпиадные задачки, о которых он рассказывал были очень занимательными. Правда, я всех их уже знал. Все эти задачи предлагались на Московских Олимпиадах разных годов. Долго не было новых задач - сейчас будет задачная серия))
Можно ли в пространстве составить замкнутую цепочку из 61 одинаковых согласованно вращающихся шестерёнок так, чтобы углы между сцепленными шестерёнками были не меньше 150 градусов? При этом:
1) для простоты шестерёнки считаются кругами;
2) шестерёнки сцеплены, если соответствующие окружности имеют в точке соприкосновения общую касательную;
3) угол между сцепленными шестерёнками - это угол между радиусами их окружностей, проведёнными в точку касания;
4) первая шестерёнка должна быть сцеплена со второй, вторая - с третьей, и т. д., 61-я - с первой, а другие пары шестерёнок не должны иметь общих точек.
Для начала решите задачу на плоскости.

Задача для 7 класса
Опять простенькая задача... Предлагалась на Матпразднике седьмому классу.
Квадрат разбили на 100 прямоугольников девятью вертикальными и девятью горизонтальными прямыми (параллельными его сторонам). Среди этих прямоугольников оказалось ровно 9 квадратов. Докажите, что два из этих квадратов имеют одинаковый размер.

VI Летняя школа "Современная математика". Часть III. Математика собственно...
Математика для меня в Дубне занимала далеко не первое место. И тем не менее, не написать о ней нельзя. Поэтому это сообщение будет посвященно именно математической части летней школы.
В школе было заметно больше участников, преподавателей и, соответственно, курсов, чем на предыдущих школах. Было по 6 лекций в день. Надо сказать, что при этом удивительным образом интересных для меня лекций оказалось считанное (не путать со счётным!) число. То ли я плохо выбирал курсы, то ли я был слишком критичен, то ли были просто темы лекций такие, которые не очень интересны именно мне.
Я, как уже писал в части II, посетил 14 курсов. Что ж пройдусь по ним по-порядку.
1. В.И.Арнольд "Тригонометрические многочлены Морса и шестнадцатая проблема Гильберта". Послушать Арнольда, конечно, интересно, но исключительно с познавательной стороны. (добавлено 21.08.06. в 22:32): Сейчас, перечитывая старые записи, понимаю, что здесь можно не совсем понять, что я имел в виду. Так вот познавательная сторона лекции - это рассказы об истории математики, некоторые интересные моменты математической жизни, формулировки теорем, т.е. некие общие слова. Меня же в лекциях больше интересовала исследовательская сторона, та, которая меня собственно в математике и привлекает, а именно построение строгой теории, решение математических проблем и т. п.
2. Э.Элькинд "Теорема Нэша о равновесии в теории игр". Вначале было очень просто, потом даже чуть-чуть интересно и красиво, потом стало жутко нудно и свелось к счёту, а я считать не люблю... Ну, по крайней мере, узнал кто такой Нэш. Оказалось, что это человек, про которого снят фильм "Игры разума". Математик с нелёгкой судьбой, занимавшийся проблемами теории игр и получивший за свои достижения Нобелевскую премию в области экономики.
3. В.Ю.Протасов "Элементы геометрии выпуклых тел и выпуклых многогранников". Наиболее понравившаяся мне лекция. Всё было очень понятно и интересно. Узнал много новых для себя красивых геометрических фактов и теорем.
4. А.И.Буфетов. "Случайные блуждания и броуновское движение". Было интересно, но сложно и достаточно утомительно. К концу уже перестал всё понимать, поэтому на последнюю лекцию не пошёл.
5. И.В.Ященко. "Я почти придумал тему этой лекции...". Лекция, на которой рассказывалось о понятие "почти все". Реально, в который раз я услышал книгу Ященко "Парадоксы теории множеств". Я у себя в тетрадке сделал лишь одну запись: "Почти всё я слышал в прошлом году".
6. Т.И.Голенищева-Кутузова, Ю.Г.Кудряшов. "Рисуем стрелочки, куда дует ветер, или векторные поля на поверхностях". Векторные поля. Я думал, что мне это будет интересно. Реально, прийдя на лекцию, не услышал ни одного строгого определения/рассуждения/доказательства. А на пальцах всё было уж совсем тривиально и абсолютно безынтересно.
7. В.А.Успенский. "Нестандартные модели: хорошо это или плохо?". Посмотреть на лекцию Успенского стоило. Читает он действительно интересно и понятно. И видно было, что он очень хорошо разбирается в теме своей лекции и очень старательно рассказывает. Единственное, тема лекции лично для меня не была очень интересной...
8. А.А.Разборов. "Квантовые вычисления". Скучно, неинтересно, непонятно. Я вскоре после начала лекции заснул...
9. В.В.Успенский. "Топологическая размерность и неподвижные точки". Сын ведёт лекции не хуже отца. Очень интересно и вполне понятно. Одна из лучших лекций школы.
10. Е.Ю.Америк. "Элементы арифметики в криптографии". Самая скучнейшая и безынтересная лекция школы. Три человека ушли, не дождавшись окончания лекции, чего на летней школе я увидел впервые. В математике Америк разбиралась "по листочку", который держала в руках, и при этом, всё-равно путаясь. На самый простейший вопрос не могла ответить. Например (запомнилось) сказала, что число 10⁵⁰ больше числа 2⁵⁰ в 3,5 раза. Такие ошибки сопровождали её на протяжении всей лекции. Создалось впечатление, что в математике она не сильно разбирается. Какая-то аналогия с Ильиным (тем, что теорему Ферма "доказал") просматривается. В тетрадке сделал лишь запись: "Нет ничего скучнее прикладной математики"...
11. А.Н.Дранишников. "Последовательность Морса-Ту". Всё было уж совсем тривиально, но вполне интересно. Запомнилась музыка, которая строилась и игралась по этой последовательности.
12. А.Б.Сосинский. "Колмогоровская сложность и теорема Геделя". Уделяя много времени деталям, основную идею Сосинский рассказал очень скомкано.
13. И.А.Панин. "Теорема о 27 прямых". Вначале было интересно, но затем лекция оказалась слишком сложной для моего восприятия.
14. А.И.Музыкантский. "Подбрасывание монеты по телефону". Из лекции запомнились 2-3 минуты, в которые и было рассказано, как бросить жребий по телефону. Остальное было скучно.
15. А.Я.Канель-Белов. "Самозаклинивающиеся структуры". Были известные олимпиадные задачи, были и интересные моменты. Запомнилось пару моментов. Просьба Канеля к сидящим в зале дать ему карандаши, чтобы показать один красивый пример "вживую", и ответный крик Славы Девятова, держащего в руках несколько карандашей, с последнего ряда: "Кидать?!" И момент, когда Канель гордо сказал что-то такое: "Вот Америку открыл Колумб, а не индейцы, потому что Колумб - цивилизованный человек, а индейцы - нет. Точно так же и здесь. Эту конструкцию открыл не инженер, а я, потому что я - цивилизованный человек, а инженер - нет." Я из зала сказал: "Готов поспорить!" Похоже, меня, правда, никто не услышал, ну и хорошо. Гордость просто исходила от Канеля. Пожалуй это самый гордый человек, которого я в жизни видел...
Ух ты! А лекций, оказалось, я посетил аш 15 штук! Оказывается, до 15 я досчитывать ещё не научился без ошибок =)

Было интересно!

Задача для учителей =)
Следующая задача предлагалась на творческом конкурсе учителей. Она мне показалась самой содержательной из задач первого конкурса.
Из листа клетчатой бумаги по линиям сетки вырезали многоугольник без дыр. Известно, что его можно разбить на прямоугольники 2х1. Докажите, что у него есть хотя бы одна сторона чётной длины.
По-моему, кстати, задачи конкурса учителей сильно легче задач конкурсов школьников.

Вот такое задание на втором творческом конкурсе учителей меня вообще порадовало:

В августе 2005 года в “Новой газете” было опубликовано “новое доказательство” великой теоремы Ферма. Найдите как можно больше математических ошибок в этом тексте.

Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении Xⁿ + Yⁿ = Zⁿ, то Z (при n > 2) всегда не целое. Прежде чем браться за теорему Ферма, повторим теорему Пифагора: “Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов”. Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X² + Y² = R², где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое. Попробуем доказать. Понятно, Z не равно R при одних и тех же X, Y. Легко доказуемо алгебраически, да и просто логически, что Z всегда меньше, чем R. Когда мы возводим X и Y в более высокую степень, то умножаем их на самих себя. Потом их складываем и получаем Z в той же степени n. А при возведении в нее R каждое из слагаемых надо умножить на R, которое больше, чем X и Y. К примеру, R³ = (X² + Y²)R = X²R+Y²R.

Записываем длины сторон треугольника XYR в тригонометрическом виде: X = R sinA, Y = R cosA. А значит, Zⁿ = Xⁿ + Yⁿ = Rⁿ (sinA + cosA). Тогда Z = R (sinA + cosA). Ранее мы доказали, что Z всегда меньше R, стало быть, sinA + cosA < 1. Такую тригонометрическую функцию можно найти в любом учебнике математики старших классов и убедиться по графику или таблице, что если значение функции меньше 1, то угол A больше 60° и меньше 90° . А что произойдет в этом случае с прямым углом В, находящимся между катетами? Он больше уже не будет прямым и окажется в тех же пределах: 60^o < B < 90^o.

Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника Z² = X² + Y² — 2 XY cosB. При 60^o < B < 90^o cosB — число не целое. А значит, и Z неминуемо является таковым при целых значениях X и Y. Что и требовалось доказать.

Мне эту статейку из НоГи подсунули дней за 5 до проведения конкурса. Содержательного в статейке 0. Решения нет. Математически нет вообще ничего. Интересно, как в этом вообще можно искать ошибки...
Хотя, наверное, в работе учеников учителям, иногда, и не с таким приходится встречаться...
P.S. Само это доказательство некоего Ильина (если в фамилии не ошибаюсь) ещё и по НТВ передавали. Уж не знаю, как оно прошло. Если выражаться словами Ильина, то я бы сказал так: "Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу признает это доказательство бредом". Видимо, у самого Ильина по математике в школе не было и тройки... А ещё там каких-то академиков показывали, которые в этом доказательстве ошибок не нашли. Типа, научная сенсация...

Задача на 5 секунд с часами
Следующая задача совсем простенькая. На 5 секунд...
На столе лежат 2006 правильно идущих часов. Верно ли, что в некоторый момент сумма расстояний от центра стола до концов минутных стрелок окажется больше суммы расстояний от центра стола до центров часов?

Задача со спичками
Переложите одну спичку, чтобы равенство стало верным с точностью до 0,01:

Задача с шарами
На прямой расположено 500 одинаковых бильярдных шаров: слева - 200 синих, справа - 300 красных. Все шары движутся с одинаковой по модулю скоростью. Красные шары движутся справа налево, синие - слева направо. Сколько соударений между ними произойдёт, если все столкновения шаров упругие?

Задача простая, но не простая...
Дано несколько квадратных трёхчленов, каждый из которых имеет два корня, а разность любых двух корней не имеет. Докажите, что сумма всех этих трёхчленов имеет хотя бы один корень.
Задача с Питерской Олимпиады. Имела 1-ый номер. Мне очень понравилась.

Задача "Треугольная на клетчатой бумаге."
Вспомним формулу Пика... =)
Узлы А, В, С клетчатой бумаги образуют остроугольный треугольник. Доказать, что внутри или на сторонах треугольника АВС найдётся ещё хотя бы один узел.

Задача дня номер х%
Сегодня считаем вероятности. Итак:
Настя подкидывает монетку 2007 раз, а Маша - 2006 раз. Какова вероятность того, что в итоге у Насти выпадет больше "орлов", чем у Маши?

Последний экзамен...
Сдал последний экзамен. Сдавал в форме реферата. Теперь решил этот реферат выложить...
Реферат по геометрическим преобразованиям (doc)

Задача дня №n
На этот раз задача состоит из двух частей:
а) Можно ли квадрат разрезать на попарно неравные квадраты?
б) Можно ли куб разрезать на попарно неравные кубы?
Думаю, это пока самые сложные задачи.

Задача дня №0
Очередная задача:
Дана последовательность, в которой пропущено ровно пять чисел: 102; 105; 111; 114; 120; 123; 129; ___; ___; ___; ___; ___; 201; 204; 210; 213; 219. Вставьте пропущенные числа.
Задача предлагалась на моей первой математической регате (7 класс). Задачу, помнится, мы не решили, но дипломчик получили...
(добавлено 16.06.06. в 19:08): Нашёл среди фотографий (я слева):

По-моему, та самая регата...

Задача и без нумбера, и без улитки...
Ещё одна задача:
Игроки А и В по очереди ходят конём на шахматной доске 2006х2006. Игрок А может делать только горизонтальные ходы, т.е. такие, при которых конь перемещается на соседнюю горизонталь. Игрок В может делать только вертикальные ходы, т.е. такие, при которых конь перемещается на соседнюю вертикаль. Игрок А ставит коня на произвольное поле доски и делает первый ход. Запрещено ходить конём на те поля, на которых он уже побывал. Тот, кому некуда ходить, проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

Задача дня с нумбером (но без улитки...)
Давно, не было новых задач. Впрочем, я и не обещал...
Итак, задача с нумбером (но без улитки...):
Какое наибольшее число острых углов может быть у выпуклого многоугольника?

Задача дня без нумбера (но с улиткой!)
Улитка должна проползти вдоль линий клетчатой бумаги путь длины 2n, начав и кончив свой путь в данном узле. Чему равно число её различных маршрутов?
Задача более содержательная, чем предыдущие, но тоже несложная.

Апплет, видимо, грузится только у меня. Но я всё-равно доволен...
Сегодня в школе хотел задать вопрос, насчёт глюков с размножающейся кнопкой, а апплет то и не грузится. Показал в сохранённом варианте - так и кнопка не размножается...
Пожалуйста, напишите в гостевую, а как у вас обстоят дела с моим апплетом...

Надо было лишь сказать волшебное слово...
Радостное известие. Апплет заработал!
Сколько я с ним промучился...
Правда, там какие-то глюки... Кнопка размножается )
Попробую завтра поправить...

Мир №1 в html.
Доступна html-версия Мира №1.
Ох и замучился же я все эти задачи в html переводить...

Задача дня нумбер Ka1-b3-c5-a4-...
Вчера появилась статья про коня. Сегодя вспомнил, что не так давно у меня придумалась простенькая задача на эту тему.
Задача нумбер Ka1-b3-c5-a4-...:
В клетках доски 2006х2006 каким-то образом расставлены числа 1, 2, ..., 2006² (на каждой клетке по числу). Из клетки, в которой стоит нечётное число, конь может пойти только на клетку, в которой стоит чётное число (не надо также забывать, что конь должен ходить ещё и по шахматным правилам).
Конь смог проследовать из клетки с числом 1 в клетку с числом 2, побывав ровно 1 раз в каждой клетке доски. Верно ли, что найдётся клетка, отличная от первой и второй, такая, что конь может, начав свой путь в этой клетке, обойти все клетки доски (побывав в каждой ровно 1 раз)?
Задача предлагалась на страничке "Набор-2006" сайта 192 школы.

Город коней
Появилась вторая статья "Город коней". Получилось тоже связанное с шахматами. Обещаю, следующая будет не о шахматах...
У статьи доступна как doc, так и html версия. В html должен быть java-applet, но он почему-то не грузится... Постараюсь поправить. У первого мира пока только doc версия, но совсем скоро будет и html.

Задача дня нумбер 571,5
Задача нумбер 571,5:
Для каких натуральных A и B таблицу AxB можно заполнить числами так, чтобы в нечётных строках и столбцах они образовали геометрические (не постоянные) прогрессии, а в чётных – арифметические (не постоянные) прогрессии?
Кстати, почему у задачи такой дурацкий номер, для меня тоже загадка...

Задача дня нумбер минус раз
Не хочу пока что выкладывать серьёзных задач. В то же время чего-то выложить хочется. Тогда пусть будет несерьёзная. Задача нумбер минус раз:
Вставить пропущенные буквы:
С Т Р А Л О Х А И Н О Р А Ч О С К А Л Ь Ж А Б А У Б Г Л А О Д Р О Т О С Ь И С К А О С О К К Н О Р У Д Е К А Т Р У Я А Н К Р Н А О Н Л Е Б А П Л Я А Ш А А П К А Е К А ... Р А Л А З В А
Кстати, решения можно писать в гостевую...

Задача дня нумбер раз
Решил выкладывать раз в день по какой-нибудь интересной задачке.
Вернее, раз в день, конечно, не всегда будет получаться. Но в некоторые дни раз в день задача будет появляться...
Все задачи можно будет найти в архиве задач. Там же, возможно, будут появляться решения...
Хоть моей целью и является выкладывать наиболее интересные задачи, но ведь первый блин должен быть комом... Поэтому начнём банально, системой уравнений...
Так вот, сама задача:
Решить систему уравнений в неотрицательных числах:

Решаем-с!..

Поехали!
Долго собирался создать какую-нибудь страничку в сети. И, наконец, решился.
Выбрал самый подходящий момент. Дел до фига. Школу заканчиваю. Надо досдавать всякие общества, химии и тому подобные... Да ещё к выпускным подготовиться.
Именно в такой момент у меня проснулось желание поработать над сайтом. Обычно так у меня и бывает...
Чтобы с чего-то начать, выложил статью про Математику (привыкайте, здесь это слово пишется с большой буквы) и Шахматы (тоже с большой буквы, чтоб не обидно было...). Шахматы - моё старое пристрастие. Так что первая статья именно такая. Потом, надеюсь, будут новые не менее интересные статьи (миры).
Итак.....
Поехали!